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消散型波动方程式の适切性?渐近挙动について理论的に解き明かす研究。
実生活で役立っている微分方程式。
皆さんは気象予报の仕组みを知っていますか？ 未来の大気の状态を予测するためには、今の大気の状态が时间の経过とともにどのように変化するのかを明らかにする必要があります。この変化の度合いを求める际に利用されるのが偏微分方程式です。私の研究テーマは、そうした偏微分方程式に対する适切性と、渐近挙动と言われるものについて明らかにしていくことです。
まずは微分方程式についておさらいしてみましょう。微分方程式とは一言で表すと微分を含む方程式のことで、微分とは物理量の変化を表す概念です。
例えば、「测’=测」という式は人口の増减を记述するもっとも単纯な微分方程式で、その地域における人口の増减は、今まさにそこに住んでいる人の数に応じて决まるということが表されています。では偏微分方程式はどんなものかというと、変数が2つ以上ある微分方程式と言えます。ギターやバイオリンの弦を弾くと、弦が振动しますよね。このときの弦の（静止状态からの）変位を関数として表すには、弦のどの部分かを指定する空间変数と、どの瞬间かを指定する时间変数の２つの変数が必要です。そういった2つ以上の変数に関する微分を含む微分方程式が、偏微分方程式です。微分方程式は物理量の変化に関する法则を表しており、私たちの身の回りの様々な现象が微分方程式を用いて表されます。最初にあげた気象予报に関わる大気の流れもその一つです。他の具体的な例ですと、惑星がどのような轨道で恒星の周りを运动するか、感染症が人々の间でどのように広がるかなどの予测を立てる际に利用されており、私たちの生活に大きく関わる分野なのです。
物理现象を记述し、论理的な証明を重ねる。
さて、今度は适切性についてお话ししていきましょう。物理现象をもとにした微分方程式は、残念ながらほとんどの场合手计算で解くことはできません。気象予报が良い例で、方程式が复雑すぎるがゆえに手计算で解を求めることはできず、コンピュータで解の近似値を求めること（シミュレーション）が行われています。このような手计算で解を求めることができない方程式に対しては、理论的に解の存在を保証すること、もっと踏み込んで言うとシミュレーションの妥当性を理论的に保証することが重要になります。数学的にはこれは微分方程式の「适切性」（正确には初期値问题の适切性）を証明することに相当します。「适切性」とは、解の「存在」「一意性」「初期値连続依存性」の３つを合わせた概念です。以下、これらがなぜ重要なのかを简単に説明してみましょう。解の「存在」についてですが、もし解が存在しないとなると、例えば気象予报で例えると、现在の大気の状态から出発した未来の状态が存在しないことになってしまいます。现実にはこんなことはないわけで、これはつまり考えている微分方程式が现実の大気の状态を正しく记述できていないということです。次に、解の「一意性」ですが、これは解がただ一つに定まるという意味です。もし解が复数存在してしまうと、どの解が実际の物理现象として现れるのかがわからないため、现象の予测に役立ちません。そして、最后に「初期値连続依存性」です。また気象予报で例えますが、今の大気の状态について完全なデータを得るのは不可能で、実际は近似的な状态しかわかりません。近似的なデータから未来の状态を正しく予测するためには、近似的に与えた初期状态から出発した解が、元の初期状态から出発した解をちゃんと近似できていることを保証する必要があります。「存在」「一意性」「初期値连続依存性」の3つが揃ってはじめて、微分方程式の适切性が証明されたことになります。
适切性がわかったら、次に调べたいのは具体的な解の形についてです。ですが今は具体的に解けないような微分方程式を相手にしているので、限定された状态に绞ることでしか解の形を调べることができません。「十分时间が経った后の状态」というのがその一例ですが、
このときの解の様子を「渐近挙动」、「长时间挙动」などと呼びます。この渐近挙动を调べるメリットは、特殊な状况にすることで解の様子を详しく调べられる点と、物理现象の特徴を抽出することができる点にあります。例えば、热源からの热が空间内にどのように広がるかを考えると、最初は热源から无秩序に広がっていた热が、时间がたつと均一な状态に落ち着くことが想像できますよね。このように、中间的な状态は非常に复雑だが、十分时间が経った后の状态にはその现象に特徴的なパターンが见られる、ということがよくあります。これを微分方程式の解析により调べるのが渐近挙动の研究です。
粘り强く取り组む中でひらめきが生まれる楽しさ。
私は特に、摩擦や抵抗の効果を考虑した消散型波动方程式という偏微分方程式に対して、适切性や渐近挙动の研究を行っています。消散型偏微分方程式の解は、摩擦が小さければ解は摩擦のない波动方程式の解のように振る舞い、摩擦が大きければ解は热方程式の解のように振る舞うことが知られています。ではその境目となる大きさの摩擦のときはどうなっているのかなど面白い问题がたくさんあり、研究の进展に少しでも贡献できればと考えています。理论研究というと想像しにくいかもしれませんが、参考文献を読んだり他の研究者とディスカッションをしながら、问题を解き进めていくイメージでしょうか。数学の研究は时间をかけて取り组まれるものも多く、ひとつのテーマに区切りがつくまで10年以上かかる场合もあります。研究成果が社会で役立つにはさらに时间が必要で、数十年かかる场合もあります。シミュレーションによる気象予报はリチャードソンという人が1920年顷に考えたものですが、当时は手计算で行うしかなく成功しなかったそうです。気象予报が実用化されはじめたのはコンピュータが発展を遂げてからのことです。また、病院にある齿线颁罢も1917年には数学者のラドンによって理论が完成されていましたが、実现したのは1970年代と50年以上の月日がかかっています。もちろん、短いスパンで応用に直结する素晴らしい研究もたくさんありますが、长い目で见て未来の人类の生活を豊かにするような基础的な研究にももっと理解が得られてほしいと愿っています。
数学の研究をやっていく上で大事なのは、粘り强く取り组み続けることだと思います。长く问题と向き合っていると、「解けた！」と思う瞬间があるが実は勘违いでふりだしに戻る、といったことを繰り返しがちです。それでも諦めずに続けているとふと良いアイデアが涌いて问题が解けることがあり、そういうときはやはりとても嬉しいです。行き詰まったときは色々な人と研究の话をしてモチベーションを保っています。研究集会に出かけて他の研究者の话を闻くことも良い刺激になります。数学研究の特徴としては、他の分野と比べ実験の必要がなく、场所と时间に自由度があることも挙げられます。自分のペースでじっくりコツコツ研究を进めたい方、数学が好きで兴味がある方には向いているかと思います。数理学研究室には７名の教员がおり、研究分野も偏微分方程式、力学系理论、统计力学など多岐にわたります。もし兴味のある分野があればぜひ见学にきていただければと思います。
助教
YUTA WAKASUGI
数理学研究室
2009年3月 大阪教育大学 教育学部 卒業
2011年3月 大阪大学大学院 理学研究科 博士前期課程 修了
2014年3月 大阪大学大学院 理学研究科 博士後期課程 修了
博士号取得（理学） 大阪大学
2013年4月词2014年3月 日本学术振兴会特别研究员顿颁2（大阪大学）
2014年4月词2015年3月 日本学术振兴会特别研究员笔顿（大阪大学）
2015年4月词2016年12月 日本学术振兴会特别研究员笔顿（名古屋大学）
2017年1月~2019年8月 愛媛大学大学院 理工学研究科 講師
2019年9月~2020年3月 広島大学大学院 工学研究科 准教授
2020年4月~ 広島大学大学院 先進理工系科学研究科 准教授
